Komplexe Sinus, Kosinus, Tangens Funktion

In diesem Artikel geht es hauptsächlich um die Herleitung der Form des Sinus ${\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}$ und des Kosinus ${\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}$.

Die Herleitungen basieren auf der Eulerschen Formel $e^{iz}=cos(z)+isin(z)$.

Wichtig zu wissen: $e^{-iz}=cos(-z)+isin(-z)=cos(z)-isin(z)$

Herleitung Sinus

$sin(z);z\in \mathbb {C}$

$cos(z)-isin(z)=e^{-iz}|\cdot (-1)$

${\displaystyle -e^{-iz}=-cos(z)+isin(z)}$

Um den Kosinus zu eliminieren addiert man

$cos(z)+isin(z)=e^{iz}$

$+$ $-cos(z)+isin(z)}={\displaystyle -e^{-iz}$

Man erhält:

$2isin(z)=e^{iz}-e^{-iz}$

$sin(z)={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}$

Herleitung Kosinus

$cos(z);z\in \mathbb {C}$

Um den Sinus zu eliminieren addiert man

$cos(z)+isin(z)=e^{iz}$

$+$ $cos(z)-isin(z)=e^{-iz}$

Man erhält:

$2cos(z)=e^{iz}+e^{-iz}$

$cos(z)={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}$

Herleitung Tangens

$tan(z);z\in \mathbb {C}$

$tan(z)$ ist definiert als: ${\frac {sin(z)}{cos(z)}}$$=$${\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}:{\displaystyle {\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}}$

$={\displaystyle {\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\cdot {\displaystyle {\frac {2}{e^{iz}+e^{-iz}}}}}$

${\displaystyle ={\displaystyle {\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})}}}}$

${\displaystyle {\displaystyle ={\displaystyle {\frac {e^{2iz}-1}{i(e^{2iz}+1)}}}}}$

$tan(z)$${\displaystyle ={\displaystyle {\frac {1-e^{2iz}}{e^{2iz}+1}}}}i$

Hyperbolicus Funktionen

Der Sinus hyperbolicus ist definiert als:

$\sinh(z)={\frac {e^{z}-e^{-z}}{2}}=-isin(iz)$

Der Kosinus hyperbolicus ist definiert als:

$\sinh(z)={\frac {e^{z}+e^{-z}}{2}}=cos(iz)$

Es gilt unter anderem: $e^{z}=\cosh(z)+\sinh(z)$

Zusammenhang mit Arkussinus und Arkuskosinus

In den reellen Zahlen war der $\arcsin(x)$ und $\arccos(x)$ nur für die Werte $[-1;1]$ definiert.

$\arcsin(x)=z\Longleftrightarrow x=\sin(z)$

${\displaystyle \arccos(x)=z\Longleftrightarrow x=\cos(z)}$

Arkussinus von $x$:

${\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}=x$

${\displaystyle e^{iz}-e^{-iz}=2xi}$

${\displaystyle e^{iz}-2xi-e^{-iz}=0}|\cdot e^{iz}$

${\displaystyle (e^{iz})^{2}-(2xi)e^{iz}-1=0}$

Mit $abc$ Formel nach $e^{iz}$ auflösen:

$e^{iz}={\frac {-(-2xi)\pm {\sqrt {(-2xi)^{2}-4\cdot 1\cdot (-1)}}}{2\cdot 1}}$

$e^{iz}={\frac {2xi\pm {\sqrt {-4x^{2}+4}}}{2}}$

$e^{iz}={xi\pm {\sqrt {1-x^{2}}}}$

$e^{iz}={(x\pm {\sqrt {x^{2}-1}})i}$

$iz=\ln({(x\pm {\sqrt {x^{2}-1}})i})$

$iz=\ln {(x\pm {\sqrt {x^{2}-1}})+{\frac {\pi }{2}}}i+2\pi k$ $|k\in \mathbb {Z}$

$z={\frac {\pi }{2}}}+2\pi k-i\ln {(x\pm {\sqrt {x^{2}-1}})$

$\arcsin(x)$ $={\frac {\pi }{2}}}+2\pi k-i\ln {(x\pm {\sqrt {x^{2}-1}})$ $|x\in \mathbb {C} ;k\in \mathbb {Z}$

Für $x=0$ ist der $\arcsin(x)=0$

Mit der gleichen Methode für $\arccos(x)$:

$e^{iz}={\frac {2x\pm {\sqrt {4x^{2}-4}}}{2}}$

$e^{iz}=x\pm {\sqrt {x^{2}-1}}$

$iz=\ln {(x\pm {\sqrt {x^{2}-1}})}+2k\pi$ $|k\in \mathbb {Z}$

$z=-\ln {(x\pm {\sqrt {x^{2}-1}})}i$

Anmerkung: Wenn $x<0$ dann $\ln(-x)=\ln(x)+\pi i$.

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