Energiebegrenzungsmethode

Die Energiebegrenzungsmethode ist ein phänomenologisches Modell zur Erweiterung von hyperelastischen Materialmodellen, bzw. Modellen der finiten Viskoelastizität um entfestigendes Deformationsverhalten. Die Methode kann als Spezialfall der Schädigungsmechanik identifiziert werden und infolgedessen auch außerordentlich zur Herleitung von Evolutionsgleichungen für die Schädigungsmechanik herangezogen werden. Als Spezialfall der Schädigungsmechanik kann die Energiebegrenzungsmethode jedoch lediglich zur Modellierung von ratenunabhängiger Entfestigung verwendet werden.

Motivation

Idee der Energiebegrenzungsmethode

Die Motivation der Energiebegrenzungsmethode besteht namensgebend in der Begrenzung der maximal aufnehmbaren Energiedichte eines Materials. Diese Energiedichte wird im Rahmen der Hyperelastizitätstheorie, bzw. der Theorie der finiten Viskoelastizität über die helmholtzsche freie Energie $\Psi$ beschrieben. Als Ansätze zur Beschreibung der Energiedichte werden in der Regel polykonvexe Potentiale verwendet, die in Abhängigkeit eines Deformations- oder Verzerrungstensors stehen. Als Beispiel wird hier ein hyperelastisches, schwach-kompressibles Materialmodell in der Momentankonfiguration betrachtet. Die separate Abbildung der schwachen Kompressibilität gelingt dabei über die isochor-volumetrische Zerlegung des Deformationsgradienten.

$\Psi _{\mathrm {t} }=\Psi _{\mathrm {vol} }^{\mathrm {eq} }+\Psi _{\mathrm {iso} }^{\mathrm {eq} }$

Zur Erweiterung von Materialmodellen um ein entfestigendes Deformationsverhalten wird der elastische oder viskoelastische Ansatz für die helmholtzsche freie Energie $\Psi$ um ein Begrenzungspotential $\Psi ^{\mathrm {d} }$ erweitert. Das Begrenzungspotential muss dabei einer Sättigungsfunktion entsprechen und zusätzlich physikalische Plausibilitätsbedingungen erfüllen.

$\Psi _{\mathrm {t} }=\Psi _{\mathrm {vol} }^{\mathrm {d} }\left(\Psi _{\mathrm {vol} }^{\mathrm {eq} }\right)+\Psi _{\mathrm {iso} }^{\mathrm {d} }\left(\Psi _{\mathrm {iso} }^{\mathrm {eq} }\right)$

Im dargestellten Beispiel werden sowohl der volumetrische als auch der isochore Anteil der helmholtzschen freien Energie durch die Energiebegrenzungsmethode erweitert. Es ist auch denkbar lediglich einen der beiden Anteile um entfestigendes Deformationsverhalten zu erweitern. Da sich der Spannungstensor infolge der materiellen Rate der helmholtzschen freien Energie und der Anwendung der Coleman-Noll-Prozedur auf die Dissipationsungleichung ergibt, resultiert die Modellierung eines Sättigungswerts in der helmholtzschen freien Energie in einer Konvergenz der Komponenten des Spannungstensors gegen Null, sofern die Energiedichte ansteigt.

$\sigma ={\frac {\mathrm {d} \Psi _{\mathrm {vol} }^{\mathrm {d} }}{\mathrm {d} \Psi _{\mathrm {vol} }^{\mathrm {eq} }}}\sigma _{\mathrm {vol} }^{\mathrm {eq} }+{\frac {\mathrm {d} \Psi _{\mathrm {iso} }^{\mathrm {d} }}{\mathrm {d} \Psi _{\mathrm {iso} }^{\mathrm {eq} }}}\sigma _{\mathrm {iso} }^{\mathrm {eq} }$

Durch die Erweiterung von elastischen oder viskoelastischen Materiallmodellen werden die elastischen Anteile des Spannungstensors $\sigma ^{\mathrm {eq} }$ somit um Faktoren $\mathrm {d} \Psi ^{\mathrm {d} }/\mathrm {d} \Psi ^{\mathrm {eq} }$ ergänzt, die bei der geeigneten Wahl eines Begrenzungspotentials eine Entfestigung im Materialmodell modellieren.

Physikalische Plausibilitätsbedingungen

Zur Entwicklung von Begrenzungspotentialen müssen insgesamt fünf physikalische Plausibilitätsbedingungen an das Potential gestellt werden:

$\lim _{\Psi ^{\mathrm {eq} }\to 0^{+}}\Psi ^{\mathrm {d} }=0\qquad \qquad \lim _{\Psi ^{\mathrm {eq} }\to \infty }\Psi ^{\mathrm {d} }=\Phi _{0}$

Die erste Bedingungen gewährleistet, dass die helmholtzsche freie Energie im undeformierten Zustand einen Wert von Null besitzt. Die zweite Bedingung gewährleistet weiterhin das Erreichen eines Sättigungswerts $\Phi _{0}$ für ansteigende Energiedichten. Der Sättigungswert $\Phi _{0}$ korrespondiert dabei zur maximal aufnehmbaren Energiedichte eines Materials und entspricht somit einem Materialparameter für den $\Phi _{0}\in \mathbb {R} _{\neq 0}^{+}$ gelten muss. Die Umsetzung der zweiten Bedingung entspricht der grundsätzlichen Motivation der Energiebegrenzungsmethode.

$\lim _{\Psi ^{\mathrm {eq} }\to 0^{+}}{\frac {\mathrm {d} \Psi ^{\mathrm {d} }}{\mathrm {d} \Psi ^{\mathrm {eq} }}}=1\qquad \qquad 1\geq {\frac {\mathrm {d} \Psi ^{\mathrm {d} }}{\mathrm {d} \Psi ^{\mathrm {eq} }}}\geq 0$

Die dritte und vierte Bedingung beziehen sich auf die Ableitungen des Begrenzungspotentials nach der Energiedichte und somit auf die entfestigenden Vorfaktoren für die jeweiligen Anteile des Spannungstensors. Diese entfestigenden Vorfaktoren müssen im undeformierten Zustand einen Wert von Eins besitzen und für alle anderen Deformationszustände ausschließlich zwischen Null und Eins liegen, da die elastischen Spannungen andernfalls vergrößert oder physikalisch nicht plausible Vorzeichenwechsel modelliert werden würden.

$\Psi ^{\mathrm {eq,max} }=\max _{-\infty <s\leq t}\Psi ^{\mathrm {eq} }$

Die fünfte Bedingung führt eine interne Variable $\Psi ^{\mathrm {eq,max} }$ in das Konzept der Energiebegrenzungsmethode ein und wird anstatt der elastischen Energiedichte zur Berechnung der entfestigenden Vorfaktoren herangezogen. Diese interne Variable oder vergleichbare Ansätze sind notwendig, um unter Verwendung der Energiebegrenzungsmethode eine irreversible Entfestigung modellieren zu können. Sofern keine interne Variable zur Berechnung der entfestigenden Vorfaktoren verwendet wird, beschreibt die Energiebegrenzungsmethode eine Entfestigung, die bei einer Entlastung vollständig reversibel ist.

Begrenzungspotentiale

Begrenzungspotentiale und entfestigende Vorfaktoren über der elastischen Energiedichte

Zur Verwendung als Begrenzungspotential in der Energiebegrenzungsmethode können grundsätzlich alle klassischen Sättigungsfunktionen herangezogen werden. Diese Sättigungsfunktionen müssen dabei derart verschoben und skaliert werden, sodass sie die physikalischen Plausibilitätsbedingungen erfüllen. Jedes Begrenzungspotential besitzt infolgedessen mindestens einen Materialparameter $\Phi _{0}$, der zur maximal aufnehmbaren Energiedichte des Materials korrespondiert und der anhand von experimentellen Messdaten identifiziert werden muss. Hinsichtlich einer besseren, bzw. flexibleren Anpassung des Schädigungsmodells an experimentelle Messdaten ist es dienlich, wenn das Begrenzungspotential neben dem Parameter zu Beschreibung der maximal aufnehmbaren Energiedichte weitere Materialparameter zur Modifikation der Entwicklung der Entfestigung besitzt. In Konsequenz werden die Begrenzungspotential nachstehend in Abhängigkeit der Anzahl ihrer Materialparameter dargestellt:

$\Psi _{1}^{\mathrm {d} }=\Phi _{0}{\frac {2}{\pi }}\arctan \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {\Psi ^{\mathrm {eq} }}{\Phi _{0}}}\right)\qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {\mathrm {d} \Psi _{1}^{\mathrm {d} }}{\mathrm {d} \Psi ^{\mathrm {eq} }}}=\left(\left({\frac {\pi }{2}}{\frac {\Psi ^{\mathrm {eq} }}{\Phi _{0}}}\right)^{2}+1\right)^{-1}$

$\Psi _{2}^{\mathrm {d} }=\Phi _{0}\left(\coth \left(3{\frac {\Psi ^{\mathrm {eq} }}{\Phi _{0}}}\right)-{\frac {1}{3}}\left({\frac {\Psi ^{\mathrm {eq} }}{\Phi _{0}}}\right)^{-1}\right)\qquad {\frac {\mathrm {d} \Psi _{2}^{\mathrm {d} }}{\mathrm {d} \Psi ^{\mathrm {eq} }}}={\frac {1}{3}}\left({\frac {\Psi ^{\mathrm {eq} }}{\Phi _{0}}}\right)^{-2}-3\left(\sinh \left(3{\frac {\Psi ^{\mathrm {eq} }}{\Phi _{0}}}\right)\right)^{-2}$

$\Psi _{3}^{\mathrm {d} }=\Phi _{0}\left(1-{\frac {4}{\pi }}\arctan \left(\exp \left(-{\frac {\pi }{2}}{\frac {\Psi ^{\mathrm {eq} }}{\Phi _{0}}}\right)\right)\right)\quad {\frac {\mathrm {d} \Psi _{3}^{\mathrm {d} }}{\mathrm {d} \Psi ^{\mathrm {eq} }}}=\left(\cosh \left({\frac {\pi }{2}}{\frac {\Psi ^{\mathrm {eq} }}{\Phi _{0}}}\right)\right)^{-1}$

$\Psi _{4}^{\mathrm {d} }=\Phi _{0}\tanh \left({\frac {\Psi ^{\mathrm {eq} }}{\Phi _{0}}}\right)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \quad {\frac {\mathrm {d} \Psi _{4}^{\mathrm {d} }}{\mathrm {d} \Psi ^{\mathrm {eq} }}}=\left(\cosh \left({\frac {\Psi ^{\mathrm {eq} }}{\Phi _{0}}}\right)\right)^{-2}$

$\Psi _{5}^{\mathrm {d} }=\Phi _{0}\mathrm {erf} \left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}{\frac {\Psi ^{\mathrm {eq} }}{\Phi _{0}}}\right)\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad {\frac {\mathrm {d} \Psi _{5}^{\mathrm {d} }}{\mathrm {d} \Psi ^{\mathrm {eq} }}}=\exp \left(-{\frac {\pi }{4}}\left({\frac {\Psi ^{\mathrm {eq} }}{\Phi _{0}}}\right)^{2}\right)$

Die Begrenzungspotentiale $\Psi _{1}^{\mathrm {d} }$ bis $\Psi _{5}^{\mathrm {d} }$ ergeben sich durch die adäquate Verschiebung und Skalierung des Arkustangens, der Langevin-Funktion, der Gudermannfunktion, der Logistischen Funktion und der Gaußschen Fehlerfunktion. Diesen Begrenzungspotentialen ist gemein, dass sie lediglich einen Materialparameter $\Phi _{0}$ beinhalten und nicht auf zwei Parameter verallgemeinert werden können, da andernfalls die physikalischen Plausibilitätsbedingungen nicht vollständig erfüllt werden können.

$\Psi _{\mathrm {m} }^{\mathrm {d} }={\frac {\Phi _{0}}{m}}\Gamma _{\mathrm {l} }\left({\frac {1}{m}},\left({\frac {\Psi ^{\mathrm {eq} }}{\Phi _{0}}}\right)^{m}\right)\qquad \qquad {\frac {\mathrm {d} \Psi _{\mathrm {m} }^{\mathrm {d} }}{\mathrm {d} \Psi ^{\mathrm {eq} }}}=\exp \left(-\left({\frac {\Psi ^{\mathrm {eq} }}{\Phi _{0}}}\right)^{m}\right)$

Auf Basis der unteren unvollständigen Gammafunktion kann ein Begrenzungspotential $\Psi _{\mathrm {m} }^{\mathrm {d} }$ mit einem weiteren Materialparameter $m$ identifiziert werden, wobei für $m\in \mathbb {R} _{\neq 0}^{+}$ gelten muss. Durch den zusätzlichen Materialparameter kann mit steigendem Wert eine zunehmend sprödere Entfestigung modelliert werden. Das Begrenzungspotential $\Psi _{\mathrm {m} }^{\mathrm {d} }$ konvergiert jedoch nur für $m=1$ gegen den Materialparameter, der die maximal aufnehmbare Energie $\Phi _{0}$ beschreibt. Für alle weiteren Werte des Materialparameters $m$ konveriert das Begrenzungspotential gegen kleinere Werte als $\Phi _{0}$, die sich in Abhängigkeit der Gammafunktion ergeben.

$\lim _{\Psi ^{\mathrm {eq} }\to \infty }\Psi _{\mathrm {m} }^{\mathrm {d} }=\Gamma \left(1+{\frac {1}{m}}\right)\Phi _{0}\leq \Phi _{0}$

Diese Koppelung der maximal aufnehmbaren Energie in Abhängigkeit von dem zweiten Materialparameter $m$ ist insbesondere im Rahmen der Identifikation der Materialparameter als ungünstig zu bewerten, da die Koppelung eine sequenzielle Identifikation der Parameter unterbindet.

$\Psi _{\mathrm {n} }^{\mathrm {d} }=\Psi ^{\mathrm {eq} }\left(1+\left({\frac {\Psi ^{\mathrm {eq} }}{\Phi _{0}}}\right)^{n}\right)^{-{\frac {1}{n}}}\qquad \qquad {\frac {\mathrm {d} \Psi _{\mathrm {n} }^{\mathrm {d} }}{\mathrm {d} \Psi ^{\mathrm {eq} }}}=\left(1+\left({\frac {\Psi ^{\mathrm {eq} }}{\Phi _{0}}}\right)^{n}\right)^{-{\frac {1}{n}}-1}$

Auf Basis der Normierung der Identität $\Psi ^{\mathrm {eq} }/\Phi _{0}$ an der ${\mathcal {L}}^{n}$-Norm des Punktes $(1,\Psi ^{\mathrm {eq} }/\Phi _{0})$ kann ein weiteres Begrenzungspotential $\Psi _{\mathrm {n} }^{\mathrm {d} }$ mit zwei Parametern definiert werden. Für den zusätzlichen Parameter $n$ muss dabei $n\in \mathbb {R} _{\neq 0}^{+}$ gelten und analog zum Parameter $m$ des Begrenzungspotentials $\Psi _{\mathrm {m} }^{\mathrm {d} }$ wird durch steigende Werte für $n$ eine zunehmend sprödere Entfestigung modelliert.

$\Psi _{\mathrm {n,\alpha } }^{\mathrm {d} }=\Phi _{0}\left((1-\alpha ){\frac {\Psi ^{\mathrm {eq} }}{\Phi _{0}}}+\alpha \ln \left(1+{\frac {\Psi ^{\mathrm {eq} }}{\Phi _{0}}}\right)\right)\cdot \left(1+\left((1-\alpha ){\frac {\Psi ^{\mathrm {eq} }}{\Phi _{0}}}+\alpha \ln \left(1+{\frac {\Psi ^{\mathrm {eq} }}{\Phi _{0}}}\right)\right)^{n}\right)^{-{\frac {1}{n}}}$

${\frac {\mathrm {d} \Psi _{\mathrm {n,\alpha } }^{\mathrm {d} }}{\mathrm {d} \Psi ^{\mathrm {eq} }}}=\left((1-\alpha ){\frac {\Psi ^{\mathrm {eq} }}{\Phi _{0}}}+1\right)\left(1+{\frac {\Psi ^{\mathrm {eq} }}{\Phi _{0}}}\right)^{-1}\cdot \left(1+\left((1-\alpha ){\frac {\Psi ^{\mathrm {eq} }}{\Phi _{0}}}+\alpha \ln \left(1+{\frac {\Psi ^{\mathrm {eq} }}{\Phi _{0}}}\right)\right)^{n}\right)^{-{\frac {1}{n}}-1}$

Die Idee zur Normierung der Identität an der ${\mathcal {L}}^{n}$-Norm kann beliebig verallgemeinert werden, indem nicht nur die Identität normiert wird, sondern eine Gewichtung aus der Identität mit konkaven Funktionen, die im Ursprung jeweils in die Identität übergehen. Hierdurch können weitere Materialparameter im Begrenzungspotential eingeführt werden. Das Begrenzungspotential $\Psi _{\mathrm {n,\alpha } }^{\mathrm {d} }$ kann als Beispiel für dieses Vorgehen genannt werden und ergibt sich durch die Gewichtung der Identität mit einer Logarithmusfunktion. Dabei wird ein zusätzlicher Materialparamter $\alpha$ mit $\alpha \in [0,1]$ eingeführt, der eine Gewichtung zwischen der Identität und der Logarithmusfunktion beschreibt.

Zusammenhang zur Schädigungsmechanik

Die Energiebegrenzungsmethode kann als Spezialfall der Schädigungsmechanik identifiziert werden, indem die entfestigenden Vorfaktoren der Energiebegrenzungsmethode mit denen der Schädigungsmechanik gleichgesetzt werden:

$1-D={\frac {\mathrm {d} \Psi ^{\mathrm {d} }}{\mathrm {d} \Psi ^{\mathrm {eq} }}}\qquad \Rightarrow \qquad {\dot {D}}=-{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}{\frac {\mathrm {d} \Psi ^{\mathrm {d} }}{\mathrm {d} \Psi ^{\mathrm {eq} }}}$

Infolgedessen gestattet die Energiebegrenzungsmethode einen einfachen Zugang zu Evolutionsgleichungen für die Schädigungsvariable der Schädigungsmechanik. Zur Entwicklung einer solchen Evolutionsgleichung muss zunächst eine adäquates Begrenzungspotential definiert werden. Anschließend ergibt sich aus der negativen, materiellen Ableitung der entfestigenden Vorfaktoren der Energiebegrenzungsmethode die Evolutionsgleichung für die Schädigungsvariable.

Literatur

• A. Nelson: Modellierung und Finite-Elemente-Berechnung form- und stoffschlüssiger Fügeverbindungen. kassel university press, 2019. 
• K. Volokh: Hyperelasticity with Softening for Modeling Materials Failure. J Mech Phys Solids, 2007. 
• K. Volokh: On Modeling Failure of Rubber-like Materials. Mech Res Commun, 2010. 
• K. Volokh: On Irreversibility and Dissipation in Hyperelasticity with Softening. J Appl Mech, 2014. 
• K. Volokh: Mechanics of Soft Materials. Springer, 2019. 

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