Hermitesche elliptische Funktionen

Die Hermiteschen elliptischen Funktionen zählen zu den nicht elementaren Funktionen in der Mathematik. Sie entstehen als rationale Kombination aus den Jacobischen Thetafunktionen und gehören somit zu den modularen Funktionen. Sie sind nach dem französischen Mathematiker Charles Hermite benannt. Die beiden wichtigsten Funktionsgruppen sind die Transzendenten und die große Φ-Funktion. Bei den Hermiteschen Transzendenten handelt es sich um eine Abwandlung von der vierten Wurzel der elliptischen Lambdafunktion und bei der großen Φ-Funktion handelt es sich um eine Kombination aus den Transzendenten mit der fünften Potenz, der fünften Wurzel und den imaginären fünften Wurzeln des Nomeneintrags.

Definition der Hermiteschen elliptischen Transzendenten

Produktdefinition der Transzendenten φ und ψ

Unter den Hermiteschen elliptischen Funktionen bilden die sogenannten elliptischen Transzendenten die Grundlage. Sie sind als die nun folgenden Produktreihen definiert:

$\varphi _{H}(x)={\sqrt {2}}\,x^{1/8}{\frac {(x;x^{2})_{\infty }(x^{4};x^{4})_{\infty }}{(x^{2};x^{2})_{\infty }(x^{2};x^{4})_{\infty }}}={\sqrt {2}}\,x^{1/8}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1+x^{2n}}{1+x^{2n-1}}}$

$\psi _{H}(x)={\frac {(x;x^{2})_{\infty }^{2}}{(x^{2};x^{4})_{\infty }}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {1-x^{2n-1}}{1+x^{2n-1}}}$

Die Klammerausdrücke mit dem Unendlichkeitssymbol stellen die Pochhammer-Symbole dar.

Kettenbruchdefinition

Auch ist diese Kettenbruchdarstellung gültig:

$\varphi _{H}(x)={\cfrac {{\sqrt {2}}\,x^{1/8}}{1+{\cfrac {x}{1+x+{\cfrac {x^{2}}{1+x^{2}+{\cfrac {x^{3}}{\ddots }}}}}}}}$

Jacobische Identität und Thetafunktionen

Die Summe der achten Potenzen dieser beiden Funktionen ergibt konstant Eins:

$\varphi _{H}(x)^{8}+\psi _{H}(x)^{8}=1$

Denn es gilt die Jacobi-Identität:

$\vartheta _{00}(x)^{2}-\vartheta _{10}(x)^{2}=\vartheta _{01}({\sqrt {x}})^{2}$

$\vartheta _{00}(x)^{2}+\vartheta _{10}(x)^{2}=\vartheta _{00}({\sqrt {x}})^{2}$

$\vartheta _{01}(x)^{2}=\vartheta _{01}({\sqrt {x}})\,\vartheta _{00}({\sqrt {x}})$

$\vartheta _{00}(x)^{4}=\vartheta _{01}(x)^{4}+\vartheta _{10}(x)^{4}$

Die Theta-Nullwertfunktionen selbst können ebenso direkt durch die Hermiteschen elliptischen Funktionen dargestellt werden:

$\vartheta _{10}(x)=2^{1/2}\,\pi ^{-1/2}\varphi _{H}(x)^{2}K[\varphi _{H}(x)^{4}]^{1/2}$

$\vartheta _{00}(x)=2\,\pi ^{-1/2}{\bigl [}1+\psi _{H}(x)^{4}{\bigr ]}^{-1/2}K{\biggl [}{\frac {1-\psi _{H}(x)^{4}}{1+\psi _{H}(x)^{4}}}{\biggr ]}^{1/2}$

$\vartheta _{01}(x)=2\,\pi ^{-1/2}\psi _{H}(x)^{2}{\bigl [}1+\psi _{H}(x)^{4}{\bigr ]}^{-1/2}K{\biggl [}{\frac {1-\psi _{H}(x)^{4}}{1+\psi _{H}(x)^{4}}}{\biggr ]}^{1/2}$

Äquivalent hierzu sind die beiden Hermiteschen Transzendenten als direkte Quotienten der Theta-Nullwertfunktionen oder ihre Wurzeln darstellbar:

$\varphi _{H}(x)=\vartheta _{10}(x)^{1/2}\,\vartheta _{00}(x)^{-1/2}$

$\psi _{H}(x)=\vartheta _{01}(x)^{1/2}\,\vartheta _{00}(x)^{-1/2}$

$\psi _{H}(x)=\vartheta _{01}(x)\,\vartheta _{01}(x^{2})^{-1}$

Aber eine Darstellung über die Theta-Nicht-Nullwertfunktionen ist ebenso möglich:

$\varphi _{H}(x)={\frac {\vartheta _{10}({\tfrac {1}{4}}\pi ;{\sqrt {x}})}{\vartheta _{00}({\tfrac {1}{4}}\pi ;{\sqrt {x}})}}$

Ableitungen

Die beiden genannten Transzendenten werden so abgeleitet:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\varphi _{H}(x)={\frac {1}{8x}}\,\varphi _{H}(x)\,\vartheta _{01}(x)^{4}$

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\psi _{H}(x)={\frac {1}{8x}}\,\psi _{H}(x)\,[\vartheta _{01}(x)^{4}-\vartheta _{00}(x)^{4}]$

Summenreihen und Partitionsfolgen

Definierende Summenreihen ohne Partitionsfolgen

Für die Funktionen φ und ψ sind basierend auf den Definitionen der Theta-Nullwertfunktionen auch folgende zwei Reihen gültig:

$\varphi _{H}(x)={\sqrt {2}}\,x^{1/8}{\biggl \{}1+\sum _{n=1}^{\infty }x^{2\bigtriangleup (n)}{\biggr \}}^{1/2}{\biggl \{}1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{\Box (n)}{\biggr \}}^{-1/2}$

$\psi _{H}(x)={\biggl \{}1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}x^{\Box (n)}{\biggr \}}^{1/2}{\biggl \{}1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{\Box (n)}{\biggr \}}^{-1/2}$

Mit dem Dreieckssymbol werden die Dreieckszahlen dargestellt: Δ(n) = n(n+1)/2

Und mit dem Kästchen wird die n-te Quadratzahl ausgedrückt.

MacLaurinsche Reihen

Für folgende zwei Funktionen stimmen die Beträge der Koeffizienten in den nun gezeigten MacLaurinschen Reihen überein:

$2^{-1/2}x^{-1/8}\varphi _{H}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}P_{3}(k)x^{k}$

$2^{-1/2}x^{-1/8}\varphi _{H}(x)\,\psi _{H}(x)^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }P_{3}(k)x^{k}$

Mit der Bezeichnung P₃(k) wird angezeigt, auf wie viele verschiedene Weisen eine Summenzahl $k$ so in Summanden aufgeteilt werden kann, dass keiner der Summanden in der jeweiligen Summendarstellung mehr als dreimal auftaucht. Diese Zahlenfolge zeigt auch an, auf wie viele verschiedene Weisen eine Summenzahl $k$ so in Summanden aufgeteilt werden kann, dass kein gerader Summand wiederholt auftaucht.

Beispielwerte von P₃(k) und zugehörige Zahlpartitionen

k	P₃(k)	Partitionen ohne mehr als Dreifache Summandenwiederholung	Partitionen ohne Wiederholung eines geraden Summanden
0	1	() leere Partition	() leere Partition
1	1	(1)	(1)
2	2	(1+1), (2)	(1+1), (2)
3	3	(1+1+1), (1+2), (3)	(1+1+1), (1+2), (3)
4	4	(1+1+2), (2+2), (1+3), (4)	(1+1+1+1), (1+1+2), (1+3), (4)
5	6	(1+1+1+2), (1+2+2), (1+1+3), (2+3), (1+4), (5)	(1+1+1+1+1), (1+1+1+2), (1+1+3), (2+3), (1+4), (5)
6	9	(1+1+2+2), (2+2+2), (1+1+1+3), (1+2+3), (3+3), (1+1+4), (2+4), (1+5), (6)	(1+1+1+1+1+1), (1+1+1+1+2), (1+1+1+3), (1+2+3), (3+3), (1+1+4), (2+4), (1+5), (6)
7	12	(1+1+1+2+2), (1+2+2+2), (1+1+2+3), (2+2+3), (1+3+3), (1+1+1+4), (1+2+4), (3+4), (1+1+5), (2+5), (1+6), (7)	(1+1+1+1+1+1+1), (1+1+1+1+1+2), (1+1+1+1+3), (1+1+2+3), (1+3+3), (1+1+1+4), (1+2+4), (3+4), (1+1+5), (2+5), (1+6), (7)
8	16	(1+1+2+2+2), (1+1+1+2+3), (1+2+2+3), (1+1+3+3), (2+3+3), (1+1+2+4), (2+2+4), (1+3+4), (4+4), (1+1+1+5), (1+2+5), (3+5), (1+1+6), (2+6), (1+7), (8)	(1+1+1+1+1+1+1+1), (1+1+1+1+1+1+2), (1+1+1+1+1+3), (1+1+1+2+3), (1+1+3+3), (2+3+3), (1+1+1+1+4), (1+1+2+4), (1+3+4), (1+1+1+5), (1+2+5), (3+5), (1+1+6), (2+6), (1+7), (8)
9	22	(1+1+1+2+2+2), (1+1+2+2+3), (1+1+1+3+3), (2+2+2+3), (1+2+3+3), (3+3+3), (1+1+1+2+4), (1+2+2+4), (1+1+3+4), (2+3+4), (1+4+4), (1+1+2+5), (2+2+5), (1+3+5), (4+5), (1+1+1+6), (1+2+6), (3+6), (1+1+7), (2+7), (1+8), (9)	(1+1+1+1+1+1+1+1+1), (1+1+1+1+1+1+1+2), (1+1+1+1+1+1+3), (1+1+1+1+2+3), (1+1+1+3+3), (1+2+3+3), (3+3+3), (1+1+1+1+1+4), (1+1+1+2+4), (1+1+3+4), (2+3+4), (1+1+1+1+5), (1+1+2+5), (1+3+5), (4+5), (1+1+1+6), (1+2+6), (3+6), (1+1+7), (2+7), (1+8), (9)

Reihen mit strikten Partitionszahlen

Wenn jeder Summand höchstens einmal in der Partitionssumme vorkommen darf, dann liegen die sogenannten strikten Partitionen vor. Die gleiche Folge ergibt sich, wenn in der Partitionssumme nur ungerade Summanden auftauchen dürfen, aber diese auch mehrfach vorkommen dürfen. Tabellarisch werden auch diese Zahlen im nun Folgenden präsentiert:

Beispielwerte von Q(n) und zugehörige Zahlpartitionen

n	Q(n)	Zahlpartitionen ohne wiederholte Summanden	Zahlpartitionen mit nur ungeraden Summanden
0	1	() leere Partition/leere Summe	() leere Partition/leere Summe
1	1	(1)	(1)
2	1	(2)	(1+1)
3	2	(1+2), (3)	(1+1+1), (3)
4	2	(1+3), (4)	(1+1+1+1), (1+3)
5	3	(2+3), (1+4), (5)	(1+1+1+1+1), (1+1+3), (5)
6	4	(1+2+3), (2+4), (1+5), (6)	(1+1+1+1+1+1), (1+1+1+3), (3+3), (1+5)
7	5	(1+2+4), (3+4), (2+5), (1+6), (7)	(1+1+1+1+1+1+1), (1+1+1+1+3), (1+3+3), (1+1+5), (7)
8	6	(1+3+4), (1+2+5), (3+5), (2+6), (1+7), (8)	(1+1+1+1+1+1+1+1), (1+1+1+1+1+3), (1+1+3+3), (1+1+1+5), (3+5), (1+7)
9	8	(2+3+4), (1+3+5), (4+5), (1+2+6), (3+6), (2+7), (1+8), (9)	…
10	10	(1+2+3+4), (2+3+5), (1+4+5), (1+3+6), (4+6), (1+2+7), (3+7), (2+8), (1+9), (10)	…

In der Online-Enzyklopädie der Zahlenfolgen (OEIS) ist die strikte Partitionsfolge Q unter der Verzeichnisnummer A000009 eingetragen.

Dann kann die Hermitesche elliptische Transzendente φ so definiert werden:

$\varphi _{H}(x)=\tan {\biggl \langle }{\frac {1}{2}}\arctan {\biggl \{}8\,x^{1/2}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }Q(k)x^{k}{\biggr ]}^{12}{\biggr \}}{\biggr \rangle }^{1/4}$

$\varphi _{H}(x)=2^{3/4}\,x^{1/8}{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }Q(k)x^{k}{\biggr ]}^{3}{\biggl \langle }{\biggl \{}64\,x{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }Q(k)x^{k}{\biggr ]}^{24}+1{\biggr \}}^{1/2}+1{\biggr \rangle }^{-1/4}$

Außerdem gilt dann:

$\psi _{H}(x)=2^{1/8}{\biggl \langle }{\biggl \{}64\,x{\biggl [}\sum _{k=0}^{\infty }Q(k)x^{k}{\biggr ]}^{24}+1{\biggr \}}^{1/2}+1{\biggr \rangle }^{-1/8}$

Potenzierungstheoreme

Folgende Gleichungen beschreiben als Theoreme die Beziehungen der Funktionen bei den Potenzen des Nomens:

$\varphi _{H}(x)^{4}-\varphi _{H}(x^{3})^{4}=2\,\varphi _{H}(x)\varphi _{H}(x^{3})-2\,\varphi _{H}(x)^{3}\varphi _{H}(x^{3})^{3}$

$\varphi _{H}(x)^{6}+5\varphi _{H}(x)^{4}\varphi _{H}(x^{5})^{2}-5\varphi _{H}(x)^{2}\varphi _{H}(x^{5})^{4}-\varphi _{H}(x^{5})^{6}=4\varphi _{H}(x)\varphi _{H}(x^{5})-4\varphi _{H}(x)^{5}\varphi _{H}(x^{5})^{5}$

Diese Formeln wurden auch im Aufsatz der Gebrüder Borwein π and the AGM: A study in Analytic Number Theory and Computational Complexity behandelt.

Weitere symmetrische Theoreme über die Hermiteschen Transzendenten φ und ψ lauten so:

$\varphi _{H}(x)^{2}\,\varphi _{H}(x^{3})^{2}+\psi _{H}(x)^{2}\,\psi _{H}(x^{3})^{2}=1$

$\varphi _{H}(x)\,\varphi _{H}(x^{7})+\psi _{H}(x)\,\psi _{H}(x^{7})=1$

$\varphi _{H}(x)^{2}\,\varphi _{H}(x^{11})^{2}+\psi _{H}(x)^{2}\,\psi _{H}(x^{11})^{2}+2{\sqrt[{3}]{2\,\varphi _{H}(x)^{2}\,\varphi _{H}(x^{11})^{2}\,\psi _{H}(x)^{2}\,\psi _{H}(x^{11})^{2}}}=1$

$\varphi _{H}(x)\,\varphi _{H}(x^{23})+\psi _{H}(x)\,\psi _{H}(x^{23})+{\sqrt[{3}]{4\,\varphi _{H}(x)\,\varphi _{H}(x^{23})\,\psi _{H}(x)\,\psi _{H}(x^{23})}}=1$

Verallgemeinert gilt für Potenzierungen mit ungeraden Zahlen:

$\varphi _{H}(x^{2n+1})=\varphi _{H}(x)^{2n+1}\prod _{m=1}^{n}\operatorname {sn} {\bigl \{}{\tfrac {2m-1}{2n+1}}K{\bigl [}\varphi _{H}(x)^{4}{\bigr ]};\varphi _{H}(x)^{4}{\bigr \}}$

Die Bezeichnung sn steht für die Jacobische elliptische Funktion Sinus Amplitudinis.

Mit Hilfe der Theoreme der Funktion Delta Amplitudinis beziehungsweise dn könn ebenso die einzelnen Werte der Transzendenten hergeleitet werden. Für alle natürlichen Zahlen n ∈ ℕ gilt diese Formel:

${\sqrt {n}}=\sum _{m=1}^{n}\operatorname {dn} {\biggl \langle }{\frac {2m}{n}}K{\bigl \{}\psi _{H}{\bigl [}\exp {\bigl (}-\pi {\sqrt {n}}{\bigr )}{\bigr ]}^{4}{\bigr \}};\psi _{H}{\bigl [}\exp {\bigl (}-\pi {\sqrt {n}}{\bigr )}{\bigr ]}^{4}{\biggr \rangle }$

Bezug zum elliptischen Nomen

Nomenidentitäten

Wenn in diese Funktionen als innere Funktion das elliptische Nomen beziehungsweise die Jacobische Entwicklungsgröße eingesetzt wird, dann können folgende Zusammenhänge formuliert werden:

$\varphi _{H}[q(\varepsilon )]=|\varepsilon |^{1/4}$

$\varphi _{H}[q(\varepsilon )^{2}]=|\tan[{\tfrac {1}{2}}\arcsin(\varepsilon )]|^{1/2}$

$\psi _{H}[q(\varepsilon )]={\sqrt[{8}]{1-\varepsilon ^{2}}}$

$\psi _{H}[q(\varepsilon )^{2}]={\sqrt {2}}\,{\sqrt[{16}]{1-\varepsilon ^{2}}}{\bigl (}{\sqrt {1+\varepsilon }}+{\sqrt {1-\varepsilon }}{\bigr )}^{-1/2}$

Dabei ist das elliptische Nomen selbst so definiert:

$q(\varepsilon )=\exp \left[-\pi K\left({\sqrt {1-\varepsilon ^{2}}}\right)K(\varepsilon )^{-1}\right]$

Elliptische Integrale

Das vollständige elliptische Integral erster Art beziehungsweise die Jacobische Viertelperiode kann wie folgt definiert werden:

$K(y)=\int _{0}^{1}{\frac {2}{\sqrt {(z^{2}+1)^{2}-4y^{2}z^{2}}}}\,\mathrm {d} z$

Und der Buchstabe ε steht für die numerische Exzentrizität derjenigen Ellipse, bei welcher das Verhältnis des Viertelumfangs zur großen Halbachse gleich dem vollständigen elliptischen Integral zweiter Art E(k) mit der numerischen Exzentrizität ε als elliptischer Modul k ist. Es gilt somit die Regel: ε = k

Analog gilt für das vollständige elliptische Integral zweiter Art diese Definitionsformel:

$E(y)=\int _{0}^{1}{\frac {2{\sqrt {(z^{2}+1)^{2}-4y^{2}z^{2}}}}{(z^{2}+1)^{2}}}\,\mathrm {d} z$

Und die Integrale $K$ und $E$ stehen in jener Beziehung zueinander:

$E(y)+{\sqrt {1-y^{2}}}\,K(y)=\left(1+{\sqrt {1-y^{2}}}\right)E\left[y^{2}\left(1+{\sqrt {1-y^{2}}}\right)^{-2}\right]$

Funktionswerte der Hermiteschen Transzendenten

Lemniskatische Werte

Die folgende Tabelle stellt einige grundlegenden Werte und lemniskatischen Werte von diesen beiden Funktionen gegenüber:

Tabelle der Hermiteschen Funktionswerte

$x$	$\varphi _{H}(x)$	$\psi _{H}(x)$	${\frac {\varphi _{H}(x)}{\psi _{H}(x)}}$
0	0	1	0
1	1	0	$+\,\infty$
${\text{e}}^{-\pi }$	$2^{-1/8}$	$2^{-1/8}$	1
${\text{e}}^{-2\pi }$	$({\sqrt {2}}-1)^{1/2}$	$2^{5/16}({\sqrt {2}}-1)^{1/4}$	$2^{-5/16}({\sqrt {2}}-1)^{1/4}$
$\exp(-{\tfrac {1}{2}}\pi )$	$2^{5/16}({\sqrt {2}}-1)^{1/4}$	$({\sqrt {2}}-1)^{1/2}$	$2^{5/16}({\sqrt {2}}+1)^{1/4}$
${\text{e}}^{-3\pi }$	$2^{-11/8}({\sqrt[{4}]{12}}-{\sqrt {3}}+1)$	$2^{-11/8}({\sqrt[{4}]{12}}+{\sqrt {3}}-1)$	$2^{-1}({\sqrt {3}}+1-{\sqrt[{4}]{12}})$
$\exp(-{\tfrac {1}{3}}\pi )$	$2^{-11/8}({\sqrt[{4}]{12}}+{\sqrt {3}}-1)$	$2^{-11/8}({\sqrt[{4}]{12}}-{\sqrt {3}}+1)$	$2^{-1}({\sqrt {3}}+1+{\sqrt[{4}]{12}})$
${\text{e}}^{-4\pi }$	$({\sqrt {2}}+1)^{1/2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)$	$2^{13/32}({\sqrt {2}}+1)^{5/8}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{1/2}$	$2^{-13/32}({\sqrt {2}}-1)^{1/8}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{1/2}$
$\exp(-{\tfrac {1}{4}}\pi )$	$2^{13/32}({\sqrt {2}}+1)^{5/8}({\sqrt[{4}]{2}}-1)^{1/2}$	$({\sqrt {2}}+1)^{1/2}({\sqrt[{4}]{2}}-1)$	$2^{13/32}({\sqrt {2}}+1)^{5/8}({\sqrt[{4}]{2}}+1)^{1/2}$
${\text{e}}^{-5\pi }$	$2^{-13/8}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt[{4}]{5}}-1)$	$2^{-13/8}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt[{4}]{5}}+1)$	$2^{-2}({\sqrt {5}}+1)({\sqrt[{4}]{5}}-1)^{2}$
$\exp(-{\tfrac {1}{5}}\pi )$	$2^{-13/8}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt[{4}]{5}}+1)$	$2^{-13/8}({\sqrt {5}}-1)({\sqrt[{4}]{5}}-1)$	$2^{-2}({\sqrt {5}}+1)({\sqrt[{4}]{5}}+1)^{2}$

Für die Ermittlung dieser lemniskatischen Werte können folgende Formeln angewendet werden:

$\varphi _{H}({\text{e}}^{-2\pi n})=\prod _{m=1}^{n}\operatorname {cl} {\bigl (}{\tfrac {2m-1}{4n}}\varpi {\bigr )}$

${\frac {\varphi _{H}[{\text{e}}^{-(2n+1)\pi }]}{\psi _{H}[{\text{e}}^{-(2n+1)\pi }]}}=\prod _{m=1}^{n}\operatorname {cl} {\bigl (}{\tfrac {m}{2n+1}}\varpi {\bigr )}$

Beide Formeln sind für alle natürlichen Zahlen n ∈ ℕ gültig.

Nicht lemniskatische Werte

Analog können diese Werte aufgestellt werden:

$\varphi _{H}[\exp(-{\sqrt {2}}\,\pi )]=({\sqrt {2}}-1)^{1/4}$

$\varphi _{H}[\exp(-3{\sqrt {2}}\,\pi )]=2^{-1/2}({\sqrt {3}}-1)({\sqrt {2}}-1)^{3/4}$

$\varphi _{H}[\exp(-5{\sqrt {2}}\,\pi )]={\frac {\Phi \,{\text{g}}(50)-{\sqrt {2}}-1}{\Phi ({\sqrt {2}}+1)\,{\text{g}}(50)+1}}({\sqrt {2}}-1)^{1/4}$

Dabei hat der Ramanujansche g-Funktionswert g(50) folgende Identität:

${\text{g}}(50)={\tfrac {1}{2}}{\bigl \{}{\tfrac {4}{3}}{\sqrt {2}}\cos({\tfrac {1}{10}}\pi )\cosh[{\tfrac {1}{3}}\operatorname {artanh} ({\tfrac {3}{8}}{\sqrt {6}})]+{\tfrac {1}{3}}\tan({\tfrac {1}{5}}\pi ){\bigr \}}^{2}-{\tfrac {1}{2}}=$

$=\Phi ^{-1}\cot {\bigl [}{\tfrac {1}{4}}\pi -\arctan {\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {5}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}+4{\sqrt {5}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {30}}-4{\sqrt {5}}}}{\bigr )}{\bigr ]}=$

$={\text{nc}}[{\tfrac {4}{5}}K({\sqrt {2}}-1);{\sqrt {2}}-1]-{\text{nc}}[{\tfrac {2}{5}}K({\sqrt {2}}-1);{\sqrt {2}}-1]\approx$

$\approx 2{,}12190403802900202926$

Und es gilt für die Goldene Zahl:

$\Phi ={\tfrac {1}{2}}({\sqrt {5}}+1)$

Jene Funktionswerte werden auf trigonometrische Weise oder faktorisiert ausgedrückt:

$\varphi _{H}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]=\sin({\tfrac {1}{12}}\pi )^{1/4}$

$\psi _{H}[\exp(-{\sqrt {3}}\,\pi )]=\cos({\tfrac {1}{12}}\pi )^{1/4}$

$\varphi _{H}[\exp(-{\sqrt {5}}\,\pi )]=\sin[{\tfrac {1}{2}}\arcsin(\Phi ^{-3})]^{1/4}=2^{-7/8}\Phi ^{-3/8}{\bigl (}{\sqrt {\Phi +{\sqrt {2}}}}-{\sqrt {\Phi -{\sqrt {2}}}}{\bigr )}$

$\psi _{H}[\exp(-{\sqrt {5}}\,\pi )]=\cos[{\tfrac {1}{2}}\arcsin(\Phi ^{-3})]^{1/4}=2^{-7/8}\Phi ^{-3/8}{\bigl (}{\sqrt {\Phi +{\sqrt {2}}}}+{\sqrt {\Phi -{\sqrt {2}}}}{\bigr )}$

$\varphi _{H}[\exp(-{\sqrt {7}}\,\pi )]=\sin[{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\tfrac {1}{8}})]^{1/4}=2^{-5/8}(3-{\sqrt {7}})^{1/4}$

$\psi _{H}[\exp(-{\sqrt {7}}\,\pi )]=\cos[{\tfrac {1}{2}}\arcsin({\tfrac {1}{8}})]^{1/4}=2^{-5/8}(3+{\sqrt {7}})^{1/4}$

$\varphi _{H}[\exp(-{\sqrt {11}}\,\pi )]=2^{-7/8}{\bigl (}{\sqrt {11}}+3{\bigr )}^{1/4}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {11}}-1{\bigr )}$

$\psi _{H}[\exp(-{\sqrt {11}}\,\pi )]=2^{-7/8}{\bigl (}{\sqrt {11}}-3{\bigr )}^{1/4}{\bigl (}{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}+2{\sqrt {11}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {3}}-2{\sqrt {11}}}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt {11}}+1{\bigr )}$

$\varphi _{H}[\exp(-{\sqrt {15}}\,\pi )]=2^{-7/8}\Phi ^{-1/2}{\sqrt {{\sqrt {3}}-1}}\,{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}-{\sqrt {3}}}}$

$\psi _{H}[\exp(-{\sqrt {15}}\,\pi )]=2^{-7/8}\Phi ^{-1/2}{\sqrt {{\sqrt {3}}+1}}\,{\sqrt[{4}]{{\sqrt {5}}+{\sqrt {3}}}}$

Die nun folgenden Werte werden mit hyperbolisch lemniskatischen Funktionsausdrücken dargestellt:

$\varphi _{H}[\exp(-{\sqrt {13}}\,\pi )]=\operatorname {tlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3{\sqrt {2}})]^{1/2}$

$\psi _{H}[\exp(-{\sqrt {13}}\,\pi )]=\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (3{\sqrt {2}})]^{1/2}$

$\varphi _{H}[\exp(-{\sqrt {37}}\,\pi )]=\operatorname {tlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (21{\sqrt {2}})]^{1/2}$

$\psi _{H}[\exp(-{\sqrt {37}}\,\pi )]=\operatorname {ctlh} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {aclh} (21{\sqrt {2}})]^{1/2}$

Andere Werte können vereinfacht beispielsweise mit den lemniskatischen Funktionen dargestellt werden:

$\varphi _{H}[\exp(-{\sqrt {6}}\,\pi )]=\operatorname {sl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}})]^{1/2}$ $\varphi _{H}[\exp(-{\sqrt {10}}\,\pi )]=\operatorname {sl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}})]^{1/2}$ $\varphi _{H}[\exp(-{\sqrt {22}}\,\pi )]=\operatorname {sl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{33}}{\sqrt {11}})]^{1/2}$ $\varphi _{H}[\exp(-{\sqrt {58}}\,\pi )]=\operatorname {sl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{99}})]^{1/2}$

$\varphi _{H}[\exp(-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {6}}\,\pi )]=-\operatorname {cl'} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}})]^{1/4}$ $\varphi _{H}[\exp(-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {10}}\,\pi )]=-\operatorname {cl'} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}})]^{1/4}$ $\varphi _{H}[\exp(-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {22}}\,\pi )]=-\operatorname {cl'} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{33}}{\sqrt {11}})]^{1/4}$ $\varphi _{H}[\exp(-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {58}}\,\pi )]=-\operatorname {cl'} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{99}})]^{1/4}$

$\psi _{H}[\exp(-{\sqrt {6}}\,\pi )]=\operatorname {sl'} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}})]^{1/4}$ $\psi _{H}[\exp(-{\sqrt {10}}\,\pi )]=\operatorname {sl'} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}})]^{1/4}$ $\psi _{H}[\exp(-{\sqrt {22}}\,\pi )]=\operatorname {sl'} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{33}}{\sqrt {11}})]^{1/4}$ $\psi _{H}[\exp(-{\sqrt {58}}\,\pi )]=\operatorname {sl'} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{99}})]^{1/4}$

$\psi _{H}[\exp(-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {6}}\,\pi )]=\operatorname {cl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {3}})]^{1/2}$ $\psi _{H}[\exp(-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {10}}\,\pi )]=\operatorname {cl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{3}})]^{1/2}$ $\psi _{H}[\exp(-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {22}}\,\pi )]=\operatorname {cl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{33}}{\sqrt {11}})]^{1/2}$ $\psi _{H}[\exp(-{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {58}}\,\pi )]=\operatorname {cl} [{\tfrac {1}{2}}\operatorname {arcsl} ({\tfrac {1}{99}})]^{1/2}$

Die vier Werte im Kästchen oben rechts in dieser Tabelle sind stets positive Werte!

Für die gezeigten Ableitungen der lemniskatischen Funktionen gilt:

$\operatorname {sl'} (x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\operatorname {sl} (x)=\operatorname {cl} (x)[\operatorname {sl} (x)^{2}+1]$

$\operatorname {cl'} (x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,\operatorname {cl} (x)=-\operatorname {sl} (x)[\operatorname {cl} (x)^{2}+1]$

Die hier abgebildeten Werte stehen in Tangensdarstellung:

$\varphi _{H}[\exp(-{\sqrt {26}}\,\pi )]=$

$=({\sqrt {2}}+1)^{1/2}({\sqrt {26}}+5)^{1/4}\tan {\bigl [}{\tfrac {3}{8}}\pi -\arctan({\tfrac {1}{3}}{\sqrt {13}}+{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {6}}+4{\sqrt {13}}}}-{\tfrac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{6{\sqrt {6}}-4{\sqrt {13}}}}){\bigr ]}$

$\varphi _{H}[\exp(-{\sqrt {30}}\,\pi )]=\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arctan {\bigl [}({\sqrt {10}}-3)^{2}({\sqrt {5}}-2)^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}^{1/4}$

$\varphi _{H}[\exp(-{\sqrt {42}}\,\pi )]=\tan {\bigl \{}{\tfrac {1}{2}}\arctan {\bigl [}(2{\sqrt {7}}-3{\sqrt {3}})^{2}(2{\sqrt {2}}-{\sqrt {7}})^{2}{\bigr ]}{\bigr \}}^{1/4}$

Reduzierte Hermitesche Funktionen

Definitionen und Webersche Identitäten

Wenn man aus den gegebenen Hermiteschen elliptischen Funktionen Quotienten bildet und diese in Abhängigkeit vom Modul statt vom Nomen setzt, dann entstehen Ausdrücke, welche direkt mit den abgeschlossenen Summen und Produkten der Jacobische elliptische Funktionen in Beziehung stehen und sich direkt als Produkte oder Quotienten von reduzierten Weberschen Modulfunktionen ergeben:

$\Phi _{HRn}(k)={\frac {\varphi _{H}[q(k)^{n}]}{\varphi _{H}[q(k)]^{n}}}$

$\Psi _{HRn}(k)={\frac {\psi _{H}[q(k)^{n}]}{\psi _{H}[q(k)]^{n}}}$

Die Reduzierte Hermiteschen Funktionen haben stets diese Beziehungen zu den reduzierten Weberschen Modulfunktionen:

$\Phi _{HRn}(k)=2^{(n-1)/4}w_{Rn}(k)^{-1}W_{Rn}(k)^{-2}$

$\Psi _{HRn}(k)={\frac {w_{Rn}(k)}{W_{Rn}(k)}}$

Grundlagenlehre über das elliptische Nomen

Direkt darauf basierend gilt grundsätzlich für das vollständige elliptische Integral erster Art $K$ dieser Zusammenhang:

$K(k)=M_{n}(k)^{-2}K{\bigl [}k^{n}\Phi _{HRn}(k)^{4}{\bigr ]}$

$n\,K'(k)=M_{n}(k)^{-2}K'{\bigl [}k^{n}\Phi _{HRn}(k)^{4}{\bigr ]}$

Auf der Poissonschen Summenformel basiert die enge Verwandtschaft dieser beiden Formeln!

Und für das Elliptische Nomen $q$ folgt darauf sofort dieses Gesetz bezüglich der Potenzierungen des Nomens:

$q(k)^{n}=q{\bigl [}k^{n}\Phi _{HRn}(k)^{4}{\bigr ]}$

Exemplarische Fälle

Die Reduzierte Hermitesche Phifunktion ist bei natürlichen Werten $n\in \mathbb {N}$ mit den Jacobischen Sinus-Amplitudinis-Produkten identisch.

$\Phi _{HR(2n+1)}(k)=\prod _{m=1}^{n}\mathrm {sn} {\bigl [}{\tfrac {2m-1}{2n+1}}K(k);k{\bigr ]}$

So gilt beispielsweise:

$\Phi _{HR3}(k)=\mathrm {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{3}}K(k);k{\bigr ]}$

$\Phi _{HR5}(k)=\mathrm {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{5}}K(k);k{\bigr ]}\mathrm {sn} {\bigl [}{\tfrac {3}{5}}K(k);k{\bigr ]}$

$\Phi _{HR7}(k)=\mathrm {sn} {\bigl [}{\tfrac {1}{7}}K(k);k{\bigr ]}\mathrm {sn} {\bigl [}{\tfrac {3}{7}}K(k);k{\bigr ]}\mathrm {sn} {\bigl [}{\tfrac {5}{7}}K(k);k{\bigr ]}$

Für die genannten Beispiele gelten diese Gleichungen vierten, sechsten und achten Grades als Ermittlungsgleichungen:

$k^{2}\Phi _{HR3}(k)^{4}-2k^{2}\Phi _{HR3}(k)^{3}+2\Phi _{HR3}(k)-1=0$

$k^{6}\Phi _{HR5}(k)^{6}-4k^{6}\Phi _{HR5}(k)^{5}+5k^{4}\Phi _{HR5}(k)^{4}-5k^{2}\Phi _{HR5}(k)^{2}+4\Phi _{HR5}(k)-1=0$

${\bigl [}1-k^{2}\Phi _{HR7}(k){\bigr ]}^{8}=(1-k^{2}){\bigl [}1-k^{14}\Phi _{HR7}(k)^{8}{\bigr ]}$

Die erste von diesen drei Gleichungen ist sehr wohl auf elementar radikalitsche Weise immer lösbar.

Jedoch ist diese Lösungsform für den Allgemeinfall bei der zweiten und der dritten Gleichung aufgrund des Satzes von Abel-Ruffini nicht möglich.

Hermite-Kronecker-Brioschi-Charakterisierung

Diese als elliptische oder modulare Transzendenten bezeichneten Funktionen sind die beiden Hauptfunktionen in der Hermite-Kronecker-Brioschi-Charakterisierung von den quintischen Gleichungen. Jene Charakterisierung ist das von Charles Hermite, Leopold Kronecker und Francesco Brioschi beschriebene Lösungsverfahren von Gleichungen fünften Grades in der Bring-Jerrard-Normalform über elliptische Modulfunktionen. Im Jahre 1858 verfasste Charles Hermite sein mathematisches Werk Sur la résolution de l’Équation du cinquiéme degré Comptes rendus und beschrieb darin das elliptische Lösen von quintischen Gleichungen. Er entdeckte hierbei die Beziehung zwischen dem absoluten Glied der standardisierten Bring-Jerrard-Form und dem elliptischen Modul. Jedes absolute Glied wird hierbei einem eindeutigen elliptischen Modul beziehungsweise einer eindeutigen numerischen Exzentrizität zugeordnet. Von dieser Exzentrizität muss das elliptische Nomen ermittelt werden und im Anschluss von den fünten Potenzen und den fünften Wurzeln dieses Nomens die Hermitschen Funktionen berechnet werden. Dasselbe Verfahren griffen auch die russischen Mathematiker Viktor Prasolov und Yuri Solovyev auf und erstellten analog hierzu ein Verfahren, welches auf demselben elliptischen Nomen und auf der Dedekindschen Etafunktion und den Weberschen Modulfunktionen basiert. Diese beiden Mathematiker schrieben eine von ihnen erforschte Lösungsformel für die quintische Bring-Jerrard-Gleichung in ihrem zusammen erstellten Werk Elliptic Functions and Elliptic Integrals (Эллиптические функции и эллиптические интегралы) nieder.

Hermitesche große Φ-Funktion

Weiter führte Charles Hermite folgende Funktion für das Lösen der Gleichungen fünften Grades ein:

$\Phi _{H}(x)=[\varphi _{H}(x^{5})+\varphi _{H}(x^{1/5})]\times \{\varphi _{H}[\exp({\tfrac {16}{5}}i\pi )x^{1/5}]-\varphi _{H}[\exp(-{\tfrac {16}{5}}i\pi )x^{1/5}]\}\times$

$\times \{\varphi _{H}[\exp({\tfrac {32}{5}}i\pi )x^{1/5}]-\varphi _{H}[\exp(-{\tfrac {32}{5}}i\pi )x^{1/5}]\}$

Bei dieser Formel wird mit dem Buchstaben Φ nicht die goldene Schnittzahl dargestellt! Mit dieser Funktion können die reellen Lösungen von quintischen Gleichungen stark vereinfacht elliptisch dargestellt werden. Weitere stark vereinfachende Funktionen für die nicht elementaren Lösungsausdrücke für quintische Gleichungen beinhalten den Rogers-Ramanujan-Kettenbruch und die Thetafunktion. Der genannte Kettenbruch wurde intensiv durch die koreanische Mathematikerin Soon Yi Kang und den griechischen Mathematiker Nikolaos Bagis erforscht. Eine analoge Funktion für die Hermitesche große Φ-Funktion in Bezug auf die Weberschen Modulfunktionen führten Prasolov und Solovyev ein:

$w_{PS}(x)=5^{-1/2}{\mathfrak {f}}_{00}(x)^{-3}[{\mathfrak {f}}_{00}(x^{5})-{\mathfrak {f}}_{00}(x^{1/5})]\times \{{\mathfrak {f}}_{00}[\exp({\tfrac {2}{5}}i\pi )x^{1/5}]-{\mathfrak {f}}_{00}[\exp(-{\tfrac {2}{5}}i\pi )x^{1/5}]\}$

$\times \{{\mathfrak {f}}_{00}[\exp({\tfrac {4}{5}}i\pi )x^{1/5}]-{\mathfrak {f}}_{00}[\exp(-{\tfrac {4}{5}}i\pi )x^{1/5}]\}$

$w_{PS}(x)={\frac {1}{64}}\,{\mathfrak {f}}_{00}(x)^{12}{\biggl [}1-{\frac {R(x^{2})}{S(x)^{2}}}{\biggr ]}^{2}{\biggl [}{\frac {1}{R(x^{2})^{2}}}-{\frac {S(x)}{R(x^{2})}}{\biggr ]}^{2}{\biggl [}{\frac {\vartheta _{00}(x^{5})\vartheta _{00}(x^{1/5})^{2}-5\,\vartheta _{00}(x^{5})^{3}}{\vartheta _{00}(x)^{3}}}{\biggr ]}^{2}$

$w_{PS}(x)={\frac {[\vartheta _{00}(x^{1/5})^{2}-5\,\vartheta _{00}(x^{5})^{2}]^{2}[\vartheta _{00}(x^{1/5})^{2}+5\,\vartheta _{00}(x^{5})^{2}-2\,\vartheta _{00}(x^{1/5})\,\vartheta _{00}(x^{5})-4\,\vartheta _{00}(x)^{2}]}{16\,\vartheta _{10}(x)^{2}\,\vartheta _{01}(x)^{2}\,\vartheta _{00}(x)^{2}}}$

Hiermit gilt, dass sich die quintische Gleichung in Bring-Jerrard-Form für alle Werte c auf diese Weise exakt elliptisch lösen lässt:

Lösungsverfahren der Bring-Jerrard-Form

$x^{5}+5\,x=4\,c$

$x={\frac {4\,c}{w_{PS}{\bigl \{}q{\bigl [}{\bigl (}2\,c^{2}+2+2{\sqrt {c^{4}+1}}{\bigr )}^{-1/2}{\bigl (}{\sqrt {{\sqrt {c^{4}+1}}+1}}+c{\bigr )}{\bigr ]}{\bigr \}}^{2}+5}}$

Siehe hierzu die Artikel Dedekindsche Etafunktion und Webersche Modulfunktionen!

Literatur

• Charles Hermite: Sur la résolution de l’Équation du cinquiéme degré Comptes rendus, Comptes Rendus Acad. Sci. Paris, Nr. 11, März 1858
• Leopold Kronecker (1858): Sur la résolution de l'equation du cinquième degré, extrait d'une lettre adressée à M. Hermite. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. XLVI (I): 1150–1152
• Francesco Brioschi (1858): Sul Metodo di Kronecker per la Risoluzione delle Equazioni di Quinto Grado. Atti Dell'i. R. Istituto Lombardo di Scienze, Lettere ed Arti. I: 275–282
• Francesco Brioschi: Sulla risoluzione delle equazioni del quinto grado: Hermite – Sur la résolution de l’Équation du cinquiéme degré Comptes rendus –. N. 11. Mars. 1858. 1. Dezember 1858, doi:10.1007/bf03197334.
• Viktor Prasolov, Yuri Solovyev: Elliptic Functions and Elliptic Integrals. American Mathematical Society, Translation of Mathematical Monographs, vol. 170, Rhode Island, 1991, pp. 149–169
• Jonathan Borwein und Peter Borwein: π and the AGM: A study in Analytic Number Theory and Computational Complexity. Wiley-Interscience, 1987
• Soon Yi Kang: Ramanujan’s Formulas For Explicit Evaluation Of The Rogers-Ramanujan Continued Fraction And Theta-Functions. Acta Arithmetica, Band 90, 1999, S. 49–68
• Nikolaos Bagis: On the complete solution of the general quintic using the Rogers-Ramanujan continued fraction. arxiv:1510.00068

Einzelnachweise

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