Dieser Artikel leitet für ein Zwei-Niveau-System wichtige quantenstatistische Ergebnisse her. Da es keine realen Zwei-Niveau-Systeme gibt, ist das Modell rein theoretisch , ein sogenanntes Toy-Modell . Die Ergebnisse gelten aber näherungsweise für zwei gut isolierte Energieniveaus.
Darstellung des Toy-Modells Das Modell geht von
n
{\displaystyle n}
Teilchen mit je zwei möglichen Energieniveaus aus. Um die Beschreibung zu vereinfachen, legen wir unseren Energienullpunkt auf das untere Energieniveau. Dann ist das obere Energieniveau auf einer Energie
E
0
{\displaystyle E_{0}}
E
0
{\displaystyle E_{0}}
Energie des Systems [ Bearbeiten ] Der Hamiltonoperator eines solchen Systems ist leicht aufzustellen.
H
^
=
∑
k
=
1
n
E
0
n
^
k
{\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{k=1}^{n}{E_{0}{\hat {n}}_{k}}}
wobei
n
^
k
{\displaystyle {\hat {n}}_{k}}
k
{\displaystyle k}
Berechnung der Zustandssummen [ Bearbeiten ] Die Zustandssumme erhält man durch Einsetzen des Hamiltonoperators in die kanonische Zustandssumme :
Z
k
(
N
,
V
,
T
)
=
Sp
(
e
−
H
^
k
B
T
)
.
{\displaystyle Z_{k}(N,V,T)=\operatorname {Sp} \left(\mathrm {e} ^{-{\frac {\hat {H}}{k_{\mathrm {B} }T}}}\right).}
Z
k
(
N
,
V
,
T
)
=
Sp
(
e
−
∑
k
=
1
n
E
0
n
^
k
k
B
T
)
.
{\displaystyle Z_{k}(N,V,T)=\operatorname {Sp} \left(\mathrm {e} ^{-{\frac {\sum _{k=1}^{n}{E_{0}{\hat {n}}_{k}}}{k_{\mathrm {B} }T}}}\right).}
Die Summe kann aus der Exponentialfunktion gezogen werden und wird zum Produkt.
Z
k
(
N
,
V
,
T
)
=
∏
k
=
1
n
Sp
(
e
−
E
0
n
^
k
k
B
T
)
.
{\displaystyle Z_{k}(N,V,T)=\prod _{k=1}^{n}\operatorname {Sp} \left(\mathrm {e} ^{-{\frac {E_{0}{\hat {n}}_{k}}{k_{\mathrm {B} }T}}}\right).}
Nun ersetzen wir die Spur durch eine Summe über
n
k
{\displaystyle n_{k}}
Operator
n
^
k
{\displaystyle {\hat {n}}_{k}}
Eigenwert nk .
Z
k
(
N
,
V
,
T
)
=
∏
k
=
1
n
∑
n
k
(
e
−
E
0
n
k
k
B
T
)
.
{\displaystyle Z_{k}(N,V,T)=\prod _{k=1}^{n}\sum _{n_{k}}\left(\mathrm {e} ^{-{\frac {E_{0}n_{k}}{k_{\mathrm {B} }T}}}\right).}
Analog erhält man für die großkanonische Zustandssumme :
Z
g
(
μ
,
V
,
T
)
=
∏
k
=
1
n
∑
n
k
(
e
−
(
E
0
−
μ
)
n
k
k
B
T
)
.
{\displaystyle Z_{g}(\mu ,V,T)=\prod _{k=1}^{n}\sum _{n_{k}}\left(\mathrm {e} ^{-{\frac {(E_{0}-\mu )n_{k}}{k_{\mathrm {B} }T}}}\right).}
Benötigt wird dazu der Teilchenzahloperator
n
^
=
∑
k
=
0
n
n
^
k
{\displaystyle {\hat {n}}=\sum _{k=0}^{n}{\hat {n}}_{k}}
n
{\displaystyle n}
Z
g
(
μ
,
V
,
T
)
=
Sp
(
e
−
H
^
−
μ
n
^
k
B
T
)
{\displaystyle Z_{g}(\mu ,V,T)=\operatorname {Sp} \left(\mathrm {e} ^{-{\frac {{\hat {H}}-\mu {\hat {n}}}{k_{\mathrm {B} }T}}}\right)}
eingesetzt.
Die so erhaltene großkanonische Zustandssumme formen wir noch um. Das beschriebene System enthält
n
{\displaystyle n}
bosonisches System. Die Summe über
n
k
{\displaystyle n_{k}}
Unendlich laufen. Für jeden Summanden sieht man aber, dass immer gleiche Energieterme multipliziert werden. Daher kann man die Exponentialfunktion auch umschreiben:
Z
g
(
μ
,
V
,
T
)
=
∏
k
=
1
n
∑
n
k
(
e
−
(
E
0
−
μ
)
k
B
T
)
n
k
.
{\displaystyle Z_{g}(\mu ,V,T)=\prod _{k=1}^{n}\sum _{n_{k}}\left(\mathrm {e} ^{-{\frac {(E_{0}-\mu )}{k_{\mathrm {B} }T}}}\right)^{n_{k}}.}
Diese Form erkennen wir als geometrische Reihe . Daraus folgt:
Z
g
(
μ
,
V
,
T
)
=
∏
k
=
1
n
1
1
−
(
exp
(
−
E
0
−
μ
k
B
T
)
)
.
{\displaystyle Z_{g}(\mu ,V,T)=\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{1-\left(\exp \left(-{\frac {E_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)\right)}}.}
Um die fermionische Zustandssumme zu bekommen, benötigen wir einen Trick. Das System wird nur fermionisch, wenn sich in jedem Zustand maximal ein Teilchen befindet. Dazu betrachten wir unser System für
n
=
1
{\displaystyle n=1}
n
k
{\displaystyle n_{k}}
n
k
{\displaystyle n_{k}}
Die Zustandssumme wird dann zu:
Z
g
(
μ
,
V
,
T
)
=
∑
n
k
=
0
1
(
e
−
(
E
0
−
μ
)
n
k
k
B
T
)
.
{\displaystyle Z_{g}(\mu ,V,T)=\sum _{n_{k}=0}^{1}\left(\mathrm {e} ^{-{\frac {(E_{0}-\mu )n_{k}}{k_{\mathrm {B} }T}}}\right).}
Einsetzen von nk liefert:
Z
g
(
μ
,
V
,
T
)
=
1
+
(
exp
(
−
(
E
0
−
μ
)
k
B
T
)
)
.
{\displaystyle Z_{g}(\mu ,V,T)=1+\left(\exp \left(-{\frac {(E_{0}-\mu )}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)\right).}
Dabei wurde benutzt, dass
e
0
=
1
{\displaystyle \mathrm {e} ^{0}=1}
Dies gibt uns die Zustandssumme für ein Teilchen. Wir verlassen an dieser Stelle unser Modell und sagen, wir wollten ursprünglich ein
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
n
{\displaystyle n}
Z
g
(
μ
,
V
,
T
)
=
∏
k
=
1
n
(
1
+
(
e
−
(
E
0
−
μ
)
k
B
T
)
)
.
{\displaystyle Z_{g}(\mu ,V,T)=\prod _{k=1}^{n}\left(1+\left(\mathrm {e} ^{-{\frac {(E_{0}-\mu )}{k_{\mathrm {B} }T}}}\right)\right).}
Thermodynamisches Potential [ Bearbeiten ] Wir berechnen das Thermodynamische Potential über:
Ω
(
T
,
V
,
μ
)
=
−
k
B
T
log
(
Z
g
)
.
{\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=-k_{\mathrm {B} }T\log({Z_{g}}).}
Einsetzen der vorher berechneten großkanonischen Zustandssumme liefert:
Ω
(
T
,
V
,
μ
)
=
−
k
B
T
log
(
∏
k
=
1
n
1
1
−
(
e
−
E
0
−
μ
k
B
T
)
)
.
{\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=-k_{\mathrm {B} }T\log \left({\prod _{k=1}^{n}{\frac {1}{1-(\mathrm {e} ^{-{\frac {E_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}})}}}\right).}
Das Produkt lässt sich als Summe aus dem Logarithmus ziehen, innen dreht ein Vorzeichenwechsel den Bruch um. Es folgt:
Ω
(
T
,
V
,
μ
)
=
k
B
T
∑
k
=
1
n
log
(
1
−
(
e
−
E
0
−
μ
k
B
T
)
)
.
{\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=k_{\mathrm {B} }T\sum _{k=1}^{n}\log(1-(\mathrm {e} ^{-{\frac {E_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}})).}
Durch Einsetzen und Vorziehen der Summe ergibt sich:
Ω
(
T
,
V
,
μ
)
=
−
k
B
T
∑
k
=
1
n
log
(
1
+
(
e
−
E
0
−
μ
k
B
T
)
)
.
{\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=-k_{\mathrm {B} }T\sum _{k=1}^{n}\log(1+(\mathrm {e} ^{-{\frac {E_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}})).}
Wir sehen, dass das Potential bis auf die Vorzeichen gleich ist.
Ω
(
T
,
V
,
μ
)
=
±
k
B
T
∑
k
=
1
n
log
(
1
∓
(
e
−
E
0
−
μ
k
B
T
)
)
F
e
r
m
i
o
n
e
n
B
o
s
o
n
e
n
.
{\displaystyle \Omega (T,V,\mu )=\pm k_{\mathrm {B} }T\sum _{k=1}^{n}\log(1\mp (\mathrm {e} ^{-{\frac {E_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}}))\,\,\,\,_{\mathrm {Fermionen} }^{\mathrm {Bosonen} }.}
Verteilungsfunktionen [ Bearbeiten ] Man erhält den Erwartungswert für die Teilchenzahl, indem man das thermodynamische Potential nach dem negativen chemischen Potential ableitet.
⟨
N
^
⟩
=
−
(
∂
Ω
∂
μ
)
β
,
V
{\displaystyle \langle {\hat {N}}\rangle =-\left({\frac {\partial \Omega }{\partial \mu }}\right)_{\beta ,V}}
β
=
1
k
B
T
.
{\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}.}
Die Ableitung des Logarithmus liefert:
1
1
−
(
e
−
E
0
−
μ
k
B
T
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{1-\left(\mathrm {e} ^{-{\frac {E_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}}\right)}}.}
Die innere Ableitung gibt:
−
1
k
B
T
e
−
E
0
−
μ
k
B
T
.
{\displaystyle -{\frac {1}{k_{\mathrm {B} }T}}\mathrm {e} ^{-{\frac {E_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}}.}
Zusammengefasst erhalten wir dann:
⟨
N
^
⟩
=
k
B
T
k
B
T
∑
k
=
1
n
1
1
−
(
e
−
E
0
−
μ
k
B
T
)
e
−
E
0
−
μ
k
B
T
.
{\displaystyle \langle {\hat {N}}\rangle ={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{k_{\mathrm {B} }T}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{1-\left(\mathrm {e} ^{-{\frac {E_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}}\right)}}\mathrm {e} ^{-{\frac {E_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}}.}
Nach Kürzen von kB T und Zusammenfassen des Bruchs erhalten wir die Bose-Verteilung :
⟨
N
^
⟩
=
∑
k
=
1
n
1
(
e
E
0
−
μ
k
B
T
)
−
1
.
{\displaystyle \langle {\hat {N}}\rangle =\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\left(\mathrm {e} ^{\frac {E_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)-1}}.}
Analog erhält man durch Einsetzen des Potentials für Fermionen nach dem Ableiten:
⟨
N
^
⟩
=
k
B
T
k
B
T
∑
k
=
1
n
1
1
+
(
e
−
E
0
−
μ
k
B
T
)
e
−
E
0
−
μ
k
B
T
.
{\displaystyle \langle {\hat {N}}\rangle ={\frac {k_{\mathrm {B} }T}{k_{\mathrm {B} }T}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{1+\left(\mathrm {e} ^{-{\frac {E_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}}\right)}}\mathrm {e} ^{-{\frac {E_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}}.}
Zusammenfassen liefert nun die Fermi-Verteilung :
⟨
N
^
⟩
=
∑
k
=
1
n
1
(
e
E
0
−
μ
k
B
T
)
+
1
.
{\displaystyle \langle {\hat {N}}\rangle =\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\left(\mathrm {e} ^{\frac {E_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)+1}}.}
Auch hier sehen wir, dass sich die Verteilungen nur um ein Vorzeichen unterscheiden:
⟨
N
^
⟩
=
∑
k
=
1
n
1
(
e
E
0
−
μ
k
B
T
)
±
1
.
{\displaystyle \langle {\hat {N}}\rangle =\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\left(\mathrm {e} ^{\frac {E_{0}-\mu }{k_{\mathrm {B} }T}}\right)\pm 1}}.}
Aus dem Modell ergeben sich also die allgemein gültigen Fermi- und Bose-Verteilungen.
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