Ringschluss (Logik)

Als Ringschluss wird eine mathematische Beweistechnik bezeichnet, mit der die paarweise Äquivalenz mehrerer Aussagen bewiesen werden kann, ohne alle paarweisen Äquivalenzen direkt beweisen zu müssen.

Um zu beweisen, dass die Aussagen $\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n}$ jeweils paarweise äquivalent sind, werden Beweise für die Implikationen $\varphi _{1}\Rightarrow \varphi _{2}$ , $\varphi _{2}\Rightarrow \varphi _{3}$ , $\dots$ , $\varphi _{n-1}\Rightarrow \varphi _{n}$ und $\varphi _{n}\Rightarrow \varphi _{1}$ geführt.^[1]^[2]

Die paarweise Äquivalenz der Aussagen ergibt sich dann durch das logische Prinzip des Kettenschlusses und wird nicht mehr explizit bewiesen.

Beispiel[Bearbeiten]

Bei $n=4$ führt der Mathematiker die Beweise für $\varphi _{1}\Rightarrow \varphi _{2}$ , $\varphi _{2}\Rightarrow \varphi _{3}$ , $\varphi _{3}\Rightarrow \varphi _{4}$ und $\varphi _{4}\Rightarrow \varphi _{1}$ . Die Äquivalenz von $\varphi _{2}$ und $\varphi _{4}$ ergibt sich mittels der nicht mehr explizit angegegebenen Kettenschlüsse

	$\varphi _{2}\Rightarrow \varphi _{3}$
	$\varphi _{3}\Rightarrow \varphi _{4}$
Daraus folgt:	$\varphi _{2}\Rightarrow \varphi _{4}$

	$\varphi _{4}\Rightarrow \varphi _{1}$
	$\varphi _{1}\Rightarrow \varphi _{2}$
Daraus folgt:	$\varphi _{4}\Rightarrow \varphi _{2}$

Das heißt $\varphi _{2}\Leftrightarrow \varphi _{4}$ .

Motivation[Bearbeiten]

Die Technik spart vor allem Schreibaufwand. Durch den Verzicht auf die formal notwendigen Kettenschlüsse müssen an Stelle von $n(n-1)$ direkten Beweisen für $\varphi _{i}\Rightarrow \varphi _{j}$ lediglich $n$ direkte Beweise geführt werden. Für den Mathematiker ergibt sich die Schwierigkeit, eine Reihenfolge der Aussagen zu finden, die möglichst elegante direkte Beweise erlauben.